In Johannes Keplers Neue Stereometrie der Fässer (auch als Fasslehre bekannt) ergeben sich u. a. folgende Probleme:
a) Unter allen Zylindern mit gleichen Diagonalen ist derjenige [mit dem größtem Volumen zu bestimmen].
Bestimmen Sie mit den heutigen Verfahren, in welchem Verhältnis Höhe und Radius des maximalen Zylinders zueinander stehen müssen.
b) Der Zylinder, welcher mit einem geraden Kegelstumpf die gleiche Höhe und Diagonale besitzt, hat als Basisdurchmesser das arithmetische Mittel der beiden Durchmesser des Stumpfes.
Zeigen Sie ebenfalls mit den heutigen Mitteln, dass der Satz gilt.

Zu a)

Wenn du Volumen als Funktion V = Kreisfläche x Höhe = Pi x Radius² x Höhe = Pi x Radius³ x (Höhe/Radius) verstehst, könntest du eventuell nach dem Verhältnis (h/r) maximieren.

Die Differentialrechnung von V(h/r) nach (h/r) müsste dann eigentlich = Pi x Radius³ sein. Zumindest glaube ich das. Konkret würde das heißen, dass man im Optimum, wenn man Höhe durch Radius teilt, immer Pi x Radius³ herausbekommt.

Wie gesagt eher eine Vermutung... 

Deine Meinung disharmoniert mit meinem Sinn für Logik.

Ich könnte dir höchstens beim Fassleeren helfen:D

Durch ist der, der durches tut

zu a)

Ich gehe mal davon aus, dass die Diagonale einmal durch den Raum, vom Ausgangspunkt, bis zur gegenüberlegenden Seite geht. (Dazu ließ sich leider nichts googeln)

Ist dem so, würde ich folgendermaßen vorgehen:

D:Diagonale

r:Radius

3,14

h:Höhe

V:Volumen

V=h*2*3,14*r²

D²=(2r)²+h²

Auflösen nach H²

H²=D²-(2r)²

H entsprechend  [D²-(2r)²]^0,5

Einsetzen in die Volumenformel:

V=2*3,14[[D²-(2r)²]^0,5]*r²

Die Nullstelle der Ableitungen bilden das Maximum und das Minumum, später mehr dazu.

0=4*3,14[[D²-(2r)²]^0,5]*r

keinen Meter den Nazis

Te quiero Puta

Cool, danke schön!

Bei der Nullstellenberechnung fallen hoffentlich die Koeffizienten auf.

D²-(2r²)=0

-(2r)²=-D²

Entsprechend 2r²=D²

Wurzel ziehen: 2r=D

keinen Meter den Nazis

Te quiero Puta

Ja. Ich hoffe, dass dies richtig ist. Elodril müsste das wissen als Mathestudent.

Wenn die Diagonale so verstanden wird, wie ich es tue, dann hat meine Rechnung in der Tat eine gewisse Logik......

keinen Meter den Nazis

Te quiero Puta

Danke für den Tipp - ihn frag ich auch schon immer. Aber leider ist er nicht Online Aber er hat echt ein Mathewissen, der Hammer!

Aber deins ist auch super! Weil ich steh da echt wie so nen Ochs vorm Berg!

Ja mach das mal ich sehe nämlich gerade, dass ich mir da noch was genauer ansehen muss.

Bei den Umformungen schleicht sich gerne mal ein Fehler ein, und eine Diagonale(Hypotenuse!!), die so groß ist, wie die eine Diagonale (Kathete) haut irgendwie nicht hin.

Das muss nicht bedeuten, dass die gesamte Rechnung falsch ist, aber dieses Zwischenergebnis ist es.....

keinen Meter den Nazis

Te quiero Puta

Ich muss gestehen, dass ich bei sowas echt schlecht bin! Und ich mich immer sehr freue, wenn mir wer helfen kann

Ich denke, meine Ableitung ist falsch. Weil ansonsten macht es ja Sinn, bei einer gegebenden Diagonale, sich auszurechnen, wie groß r sein muss, damit das Volumen auf ein Maximum kommt und das Maximum ist nun mal eine der Nullstellen, von der Ableitung.

So ein paar Ableitungsregeln, gerade die Produktregel, dürfte interessant sein......

keinen Meter den Nazis

Te quiero Puta

Aufgabe 1a)

1) Schräge Zylinder: Fall wird durch gerade Zylinder abgedeckt (Satz von Cavalieri).

2) Zylinderdiagonale: Meiner Definition nach D=sqrt(h²+r²). (Satz des Pythagoras) Andere Möglichkeit wäre D_speziell=sqrt(h²+2²r² )

3) Extremwertaufgabe: Das Volumen V werde durch die Funktion V(h)=pi * r² * h=max beschrieben. Es sei dabei die Diagonale/Nebenbedingung D = sqrt(h²+r²) gegeben.

3.1) Forme D um: D²-h²=r²

3.2) Einsetzen in Hauptgleichung ergibt: V(h)=pi*(D²-h²)*h=pi*D² *h-pi*h³

3.3) Ableitung zur Bestimmung der Extrema, V'(h)=pi*D²-3h²*pi=0 => 3h²=D² => h=+-sqrt(D²/3) => h1=-sqrt(D²/3), h2=sqrt(D²/3)

3.4) Untersuchung auf Minima/Maxima: V''(h)=-6h*pi ist für h1 positiv (Minimum), für h2 negativ (Maximum) Betrachte also h2.

3.5) Sattelpunktuntersuchung: V'''(h)=-6*pi ungleich 0, deswegen kein Sattelpunkt. h2 ist offensichtlich kritischer Wert.

3.6.1) Berechnung durch direktes Einsetzen der Nebenbedingung: h=sqrt((h²+r²)/3) <=> h²=h²/3 + r²/3 = 2h²/3=r²/3 => r²= 2h² => r=sqrt(2h²)

3.6.2) Berechnung durch Einsetzen des kritischen Werts in Nebenbedingung: D=sqrt(r²+h²)=sqrt(r²+D ²/3) <=> D²=r²+D²/3 <=> sqrt(2D²/3) = r

Also ist das gesuchte Verhältnis offensichtlich (hoffenlich hab ich keine Rechenfehler gemacht!) r=sqrt(2)*h

Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe.

-------------------- Nachträglich editiert von Elodril am 31.05.2011 13:43

Aufgabe 1b) Ist die Diagonale vom Kegelstumpf jetzt vom einen Ende r1 bis zum anderen Ende über den Mittelpunkt von r2 oder nur die Mantellinie?

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